PA e PG na Biologia.

23/03/2019

Veja este gráfico em que Thomas Malthus, em que as progressões aritméticas e geométricas são evidenciadas.

Darwin também aponta a influência das ideias malthusianas na elaboração do conceito de seleção natural. Em 1798, Malthus sugeriu que a principal causa da miséria humana,  o erro e o descompasso entre o crescimento das populações e a produção de alimentos. Disse ele: 

"O poder da população é infinitamente maior do que poder da terra de produzir os meios de subsistência para o homem. A população, se não encontra obstáculos, cresce de acordo com uma progressão aritmética".

Malthus não se referiu apenas às populações humanas, mas tentou imaginar a humanidade submetida às mesmas leis gerais que regem populações de outras espécies de seres vivos. Esse foi um dos méritos de seu trabalho, que chamou a atenção de Darwin para as ideias de "luta pela vida" e "sobrevivência dos mais aptos".

Segundo Malthus, enquanto o crescimento populacional se dá em progressão geométrica, a produção de alimentos aumenta em progressão aritmética. Isso seria uma das explicações para a fome que assola boa parte da humanidade. Essas e outras conclusões constam em seu Ensaio sobre a lei da população, de 1798.

Lembrando os conceitos de PA e PG:

PA (Progressão Aritmética): é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.
P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.
P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. 


Termo Geral de uma P.A 


Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 - a1 = r → a2 = a1 + r
a3 - a2 = r → a3 - a1 - r = r → a3 = a1 + 2r
a4 - a3 = r → a4 - a1 - 2r = r → a4 = a1 + 3r
...
a n = a1 + (n - 1) . rPortanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n - 1) . r

PG (Progressão Geométrica): é uma sequência numérica onde cada termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante, chamada razão da PG. Em outras palavras, a diferença entre dois termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante.

Exemplo de progressão geométrica:

(1, 3, 9, 27, 81, ...)

Cada termo dessa PG, exceto o primeiro, é resultado de umproduto de seu antecessor por 3, pois 3 = 3·1, 9 = 3·3 e assim por diante.

A razão de uma PG é representada pela letra "q". E seus elementos são representados por uma letra minúscula seguida de um número que indica a posição do número. Por exemplo, na PG acima, o termo a1 é o primeiro termo e é igual a 1. O termo a4 é o quarto termo e é igual a 27. Dessa forma, é costume indicar o enésimo termo de uma PG por an.

Fazendo uso da definição de PG, podemos escrever o enésimo termo como um produto de seu antecessor an - 1 pela razão. Assim, a definição das progressões geométricas também pode ser dada da seguinte maneira:

Termo geral da PG

O termo geral de uma PG é uma expressão que pode ser usada para encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica. Esse termo também é expresso por an e a expressão/fórmula utilizada para determiná-lo é:

Onde:

n é o índice do termo que queremos determinar, ou seja, está ligado à posição desse termo na PG;

a1 é o primeiro termo da progressão geométrica e

q é sua razão.

Por exemplo, para determinar o décimo termo da PG (1, 2, 4, 8, 16, ...), podemos fazer:

an = a1·qn - 1

a10 = 1·210 - 1

Pois a1 = 1, q = 2 e n = 10. Prosseguindo nos cálculos:

a10 = 1·29

a10 = 29

a10 = 512

Soma dos termos de uma PG

Existem duas possibilidades para o cálculo da soma dos termos de uma PG. Ela pode ser finita ou o problema pode exigir a soma de uma quantidade finita de termos de uma PG infinita. Em ambos os casos, usamos a fórmula:

Se for necessário encontrar a soma dos termos de uma PG infinita, a fórmula a ser utilizada é: 

Por fim, é possível encontrar o produto dos termos de uma PG finita. A fórmula usada para esse cálculo é:

Vejamos estas questões interdisciplinares que caíram no ENEM...

Como resolvê-lo?

Essa questão teve um percentual de acertos de 30% e foi considerada nível médio, mas como se percebe, usa-se apenas a definição de progressão geométrica para resolver essa questão